7.7 常系数齐次线性微分方程
y''+py'+qy=0【*】
其中p、q为常数,称【*】为二阶常系数齐次线性微分方程。
……
留两个视频给明天吧,进度赶得上计划,也不必太着急。
……
2020年8月20日,凌晨。
其实这样表述很生活化啊,“看不见你说啥”对于我们可能觉得违和,但对于其兄妹来说是相当常见且互相理解的句子,富有生活气息。
我以为,言以达意为佳,不需拘泥语法。所谓语法,不过是大多数人为普适性情况基于精确性、统一性等将习惯规定成的一种语言规范、规则。在特定场合特定人物的语言可以以互相理解为优先进行表述。——对《写手小姐的笔上挂着尸体》进行的本章说。
2020年8月20日,周四。
抢到29号去学校的票了。害,鸽子窝里我他喵车票最贵。
7.7 二阶常系数齐次线性微分方程
λ²+pλ+q=0为【*】的特征方程
Case1:p²-4q>0则
y₁=e^(λ₁x),y₂=e^(λ₂x)是方程两个线性无关解,因此
y=C₁e^(λ₁x)+C₂e^(λ₂x)是【*】的通解。
Case2:p²-4q=0
y₁=e^(λ₁x)为【*】的解,还需找一个与y₁线性无关的解y₂。
令y₂/y₁=u(x)(≠C),y₂=u(x)y₁,
对y₂求导:y₂'=e^λ₁x(u'+λ₁u),
y₂''=e^λ₁x(u''+2λ₁u'+λ₁²u),
代入【*】,并整理
u''+(2λ₁+p)u'+(λ₁²+pλ₁+q)u=0.
因为λ₁为【*】二重根,则
λ₁²+pλ₁+q=0,2λ₁+p=0,得u''=0,
因为u(x)只要不是常数即可,不妨取简单的函数u(x)=x,得到【*】的另一个解y₂=xe^λ₁x.
因此通解为:
y=C₁e^(λ₁x)+C₂xe^(λ₁x)
y=e^(λ₁x)(C₁+C₂x).
Case3:Δ=p²-4q<0
λ²+pλ+q=0得λ₁,₂=α±iβ,y₁=e^[(α+iβ)x],y₂=e^[(α-iβ)x]为【*】的解.
利用欧拉公式e^iθ=cosθ+isinθ把y₁、y₂改写为:
y₁=e^[(α+iβ)x]=(cosβx+isinβx)e^αx,
y₂=e^[(α-iβ)x]=(cosβx-isinβx)e^αx,
上一节有↓
【1】Th1,若φ₁(x)、φ₂(x)是二阶【齐次】线性微分方程的两个解,则
y=C₁φ₁(x)+C₂φ₂(x)也是【齐次】方程的解,其中C₁、C₂为任意常数.
所以根据↑,有:
Y₁=1/2(y₁+y₂)=cosβxe^(αx),
Y₂=1/(2i)(y₁-y₂)=sinβxe^(αx)是【*】的两个线性无关解,因此【*】的通解为:
y=(C₁cosβx+C₂sinβx)e^(αx).
综上,第一步,写特征方程λ²+pλ+q=0。第二步,求λ₁、λ₂。第三步,根据两根情况按表格写通解。【步骤及表格】【《高等数学上册》p246】
推广到n阶常系数齐次线性微分方程【《高等数学上册》p247】。
7.8 常系数非齐次线性微分方程
y''+py'+qy=0【*】二阶常系数齐次线性微分方程
y''+py'+qy=f(x)【**】二阶常系数非齐次线性微分方程
【**】通解:
第一步,求齐次的通解,
第二步,求非齐次的一个特解y₀(x),
第三步,非齐通解为齐次通解加非齐次特解y₀(x)。
所以这一节核心任务为找非齐次特解y₀(x)。
一、【**】中f(x)为Pn(x)e^kx
【例1】
特解按右边的样子假设,代入得特解。原方程通解得。
【例2】有λ与原方程e指数的系数k相同则假设多乘一个x。代入得特解具体函数。
【例3】两个λ与原方程e指数的系数k相同则乘x²。代入得特解具体函数。
【例4】没见到e^kx,那就是k=0。
二、【**】中f(x)为e^dx[多项式×cos(βx)+多项式×sin(βx)]
【例1】假设特解:指数函数提出去、按照剩下样子假设(sin、cos都要有)、代入。
【例2】没有e^(αx),就是α=0,不要,看λ有没有相同的,有一个乘1个x。
【例3】
【例4】
这一章需要多实践。
行吧第七章结束、高数上册结束。舒服了。
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